A note on moments of derivatives of characteristic polynomials

We present a simple technique to compute moments of derivatives of unitary characteristic polynomials. The first part of the technique relies on an idea of Bump and Gamburd: it uses orthonormality of Schur functions over unitary groups to compute matrix averages of characteristic polynomials. In order to consider derivatives of those polynomials, we here need the added strength of the Generalized Binomial Theorem of Okounkov and Olshanski. This result is very natural as it provides coefficients for the Taylor expansions of Schur functions, in terms of shifted Schur functions. The answer is finally given as a sum over partitions of functions of the contents. One can also obtain alternative expressions involving hypergeometric functions of matrix arguments. Résumé. Nous introduisons une nouvelle technique, en deux parties, pour calculer les moments de dérivées de polynômes caractéristiques. La première étape repose sur une idée de Bump et Gamburd et utilise l’orthonormalité des fonctions de Schur sur les groupes unitaires pour calculer des moyennes de polynômes caractéristiques de matrices aléatoires. La deuxième étape, qui est nécessaire pour passer aux dérivées, utilise une généralisation du théorème binomial due à Okounkov et Olshanski. Ce théorème livre les coefficients des séries de Taylor pour les fonctions de Schur sous la forme de “shifted Schur functions”. La réponse finale est donnée sous forme de somme sur les partitions de fonctions des contenus. Nous obtenons aussi d’autres expressions en terme de fonctions hypergéométriques d’argument matriciel.